〈先乘除,後加減;先X X,後乘除?— 間中把數學「語文化」以照顧某些學生的需要〉陳鴻昌

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初中學生經常會犯以下多項錯誤:

2\cdot3^n = 6^n,當中n為正整數。 ...............(1)

(x-y)^2 = x^2-y^2,當中xy為實數。.......(2)

\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b},當中ab為正實數。---(3)

 

造成這些錯誤,當然有很多原因。較簡單的說法,是在上述錯誤的等式中,左面和右面太相似,故學生混淆。然而類似的說法未能使我們有效地矯正學生的錯誤。一個更加嚴緊的說法是學生弄不清運算符號的先後次序(priority of operators)。絕大部分學生也曾在小學時學過「先乘除,後加減」的概念。可惜,一來他們對於這顯淺的概念未必能透澈理解(有些學生以為先乘除的意思是先作乘,後作除!),二來他們並未學過加減乘除以外的運算符號之先後次序,故在運算時隨心而發,繼而錯漏百出。

以上述第(1)錯誤為例,學生因不懂得對3進行n次方的運算須在2乘3的運算之前,故錯誤地先作了2乘3的運算。類似地,在第(2)式中,學生也未意識到括號內xy的運算必須在括號外的2次方運算之前。而第(3)錯誤,所牽涉的概念更多了。學生須知\sqrt{a+b}等同於\sqrt{(a+b)} ,故在開方根號內之加運算,須在開方根前運作。

因此,我們在教導初中學生時,除了「先乘除,後加減」的概念外,可再強調其他運算次序的概念。即「先次方,後乘除」(先獲次冪,再作乘除);「先括弧,後次方」(先獲括弧內運算之結果,再將其作括弧外之次方運算)等。但必須強調的,在教導學生「口訣」時,必須讓學生明白其意義,並舉大量例子加以說明,否則可能使學生更加混亂。

當我們教導學生這些運算次序時,學生可能會問「為甚麼」。這是一個教導學生的好機會。我們可藉此向學生灌輸數學為一特別語言的概念。而「先冪積,後乘除」,便是這種語言的一種慣常用法(約定俗成)。這就正如我們在學習英文時,我們接受了「Iam a boy」的意思是「我是一名男孩」,這就是英國語文中的一種約定俗成,這句子當中的次序也不可隨意調動(比如說,不可寫成「boy am a I」)。當我們記下英國語文的規律(文法),日後我們在看見這句字時便懂其意義,而我們寫出這句字時,別人也明白其意思。而在數學語言中,當我們寫出4\times2^2時,我們便約定了這是4\times9 (=36) 的意思,而不會錯誤地理解為12^2 的意義。

最後必須強調的,就是部分學生在學習口訣時,往往長時間也未能掌握其意義,而自己卻錯誤地創造口訣的意思(正如上述談及「先乘除後加減」的情況)。因此,當我們遇到這些學生時,口訣未必有效,可試強調數學為一語言之說法。總括而然,我們最終目的在於教導學生掌握運算次序的概念,教學方法則必須因應學生的學習風格及反應而改變,才能照顧差異。

2015年10月11日